PRACA, MOC I ENERGIA

1. Praca

Rozważania dotyczące pracy w ściśle fizycznym znaczeniu rozpoczniemy od przypadku, gdy pod działaniem stałej siły F punkt materialny odbywa prostoliniowe przesunięcie s (wektor przesunięcia s jest równy liczbowo przebytej drodze i ma kierunek zgodny z kierunkiem ruchu). Pracę W definujemy jako iloczyn skalarny wektora siły F i wektora przesunięcia s, a zatem

lub

gdzie oznacza kąt między kierunkiem siły i przesunięcia. Zgodnie z podaną definicją praca jest skalarem.

Jednostką pracy w układzie SI jest dżul (J). Dżul jest to praca wykonana podczas przesunięcia punktu materialnego pod działaniem siły 1 niutona na odległość 1 metra, gdy kierunki siły i przesunięcia są zgodne:

Wracając do wzoru (2.). Wynika z niego bezpośrednio, że praca może przyjmować zarówno wartości dodatnie jak i ujemne. Praca danej siły jest dodatnia, gdy kąt jest ostry, ujemna - gdy kąt jest rozwarty i równa zeru nie tylko wtedy, gdy siła lub przesunięcie są równe zeru, lecz także, gdy kierunek siły jest prostopadły do kierunku przesunięcia. Tak np. praca wykonana przez siłę ciężkości jest dodatni przy spadku ciała, ujemna - przy podnoszeniu go do góry i równa zeru - przy przesuwaniu ciała po torze poziomym.

Iloczyn F cos przedstawia rzut siły F na kierunek przesunięcia s, czyli jest wartością liczbową siły F_t stycznej do toru:

a zatem

Jeżeli ciało porusza się pod działaniem kilku równocześnie działających sił F₁,F₂, ..., tworzących z kierunkiem przesunięcia odpowiedno kąty ₁,₂, ..., to łączna praca wszystkich sił może być wyrażona jako

gdzie F_t1, F_t2, ...są odpowiednio rzutami sił F₁, F₂, ...na kierunek s. Suma tych rzutów równa się rzutowi F_t siły wypadkowej F = F₁ + F₂ + . , czyli

A zatem i w tym przypadku całkowita praca wszystkich sił jest równa

Obliczanie pracy nieco się komplikuje, gdy ciało pod działaniem siły F zmiennej co do wartości posuwa się po torze prostoliniowym, z którym siła F stale tworzy kąt . Na przykład niech ciało przesuwa się wzdłuż osi x od położenia początkowego x₁ do położenia końcowego x₂.

Tym razem pracę obliczamy w ten sposób, że całkowitą drogę x₂-x₁ dzielimy na bardzo wiele odcinków tak małych, aby siłę na nie działająca można było uważać za stałą. Praca całkowita równa się sumie prac elementarnych wykonanych na poszczególnych małych odcinkach drogi. Jeśli liczba odcinków jest n, a długość każdego z nich x, to

Wartość tej sumy rozciągnięta na nieskończenie wiele zmierzających do zera elementów drogi sięgającej od x₁ do x₂ sprowadza się do całki oznaczonej

Najogólniejszy przypadek obliczania pracy dotyczy działania siły zmiennej co do wartości i kierunku, działającej wzdłuż drogi krzywoliniowej. Tym razem obliczanie pracy sprowadza się do obliczania całki krzywoliniowej. Tego przypadku szerzej nie będziemy omawiali (ciekawscy: zapytajcie prof. Mańkowskiego).

Po tych rozważaniach o charakterze definicyjnym rozpatrzmy konkretny przykład prac wykonanych przez różne siły podczas ruchu ciała. Niech np. samochód przy pewnej określonej sile napędowej porusza się ruchem jednostajnym wzdłuż poziomej drogi s na prostoliniowym torze. Z pierwszej zasady dynamiki wynika, że wypadkowa siła działająca na samochód w tych warunkach równa się zeru. A zatem i całkowita praca W związana z ruchem samochodu równa się zeru. Ale na pracę całkowitą składa się praca W₁ siły napędowej F₁ oraz praca W₂ siły wypadkowej wszystkich sił oporu F₂ skierowanej przeciwnie w stosunku do prędkości. A zatem

skąd

Uogólniając otrzymany wynik powiemy, że w przypadku ruchu jednostajnego ciała po torze poziomym dodatnia praca sił napędowych (tzw. praca włożona w ciało poruszające się) jest liczbowo równa ujemnej pracy sił oporowych (tzw. pracy wykonanej przez ciało poruszające się).

2. Moc

Z pojęciem pracy ściśle się wiąże pojęcie mocy. Jeśli w pewnym przedziale czasu t praca W wykonywana jest równomiernie, to przez moc P rozumiemy stosunek pracy do czasu, w jakim została wykonana:

Jeśli jednak praca wykonywana w równych, dowolnie krótkich odstępach czasu nie jest stała, to posługujemy się pojęciem mocy średniej i mocy chwilowej P zdefiniowanych odpowiedno równaniami:

Jednostką mocy w układzie SI jest 1 wat (W). Zgodnie ze wzorem (4)

Często też jest w użyciu jednostka zwana kilowatem (kW):

3. Energia

Pojęcie pracy ściśle się wiąże z pojęciem energii, pojęciem podstawowym dla całego przyrodoznawstwa i dla techniki.

nergia jest to zasób pracy, zmagazynowany w danym ciele lub układzie ciał, który może być zmniejszany (energia maleje) lub zwiększany (energia rośnie). Innymi słowy, wartość energii nie jest stała, charakterystyczna dla danego ciała (układu), lecz zależy od jego stanu. Do tej sprawy jeszcze powrócimy.

Energia może występować w dwóch podstawowych postaciach: jako energia związana z ruchem, czyli tzw. energia kinetyczna, oraz jako energia związana ze specjalnym położeniem elementów danego ciała (lub elementów wchodzących w skład układu ciał) względem siebie, czyli tzw. energia potencjalna. W zależności od charakteru rozpatrywanych zjawisko można rozróżniać energię mechaniczną, elektryczną, magnetyczną, jądrową, itp.

W tej części kursu fizyki będzie nas interesowała energia mechaniczna, którą również można podzielić na energię kinetyczną i potencjalną. Zilustrujemy je przykładami.

Mówimy, że ciało ma mechaniczną energię kinetyczną, gdy dzięki prędkości swego ruchu zdolne jest do wykonywania pracy. Taki warunek spełnia np. wagon kolejowy poruszający się po szynach. Uderzając o jakąś przeszkodę może on ją przesunąć lub zgnieść, a więc wykonać pracę.

Jako przykład mechanicznej energii potencjalnej może służyć energia potencjalna sprężysta. Przypiszemy ją np. ściśniętej lub rozciągniętej sprężynie, która rozprężając się lub kurcząc może wykonać pracę. Inny rodzaj mechanicznej energii potencjalnej, a mianowicie energię potencjalną grawitacyjną ma np. ciało wzniesione na pewną wysokość nad ziemię: spadając na ziemię może ono podnieść inne ciało, a więc również wykonać pracę.

Definicja energii podana wyżej jest raczej poglądowa, nie jest tak dokładna jak definicje innych wielkości fizycznych. Wiąże się to z tym, że nie wyznaczamy całkowitej energii posiadanej przez ciało (czy układ ciał), a tylko jej zmiany - przyrosty lub ubytki - związane z przejściem ciała (układu) od określonego stanu początkowego do stanu końcowego. Najczęściej stanowi początkowemu umownie przypisuje się pewną określoną wartość energii E₀ (E₀ może mieć np. umowną wartość zerową). W przypadku obliczania mechanicznej energii kinetycznej umownie określonym stanem początkowym (zerowym) jest stan spoczynku ciała (v = 0) w danym układzie odniesienia. W przypadku różnych rodzajów energii potencjalnych stan początkowy może być wybierany różnie: może to być np. stan zupełnie swobodnej sprężyny, nie napiętego łuku, lokalizacja ciała na powierzchni Ziemi (h = 0) itp.

3.1. Energia kinetyczna

Od rozważań ogólnych związanych z pojęciem energii przejdźmy do rozważań związanych z energią kinetyczną.

Do wzoru na energię kinetyczną doprowadza następujące rozumowanie. Na ciało o masie m, poruszające się z prędkością v₀, zaczyna w pewnej chwili (t = 0) działać siła F = const, skierowana zgodnie z kierunkiem prędkości. Siłę F traktujemy jako jedyną siłę działającą na poruszające się ciało: może to byćalbo rzeczywiście jedyna siła (np. siła ciężkości działająca na ciało spadające w próżni), albo wypadkowa wszystkich sił działających na dane ciało. Sila F, działając w czasie t na pewnej drodze s, wywołuje ruch jednostajnie przyspieszony i wykonuje pracę W :

Praca ta zostaje zmagazynowana w ciele pod postacią przyrostu energii kinetycznej:

gdzie E_k⁽¹⁾ i E_k⁽⁰⁾ oznaczają odpowiednio energię kinetyczną końcową i początkową ciała.

c.d.n.